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不完全性定理とはなにか

フカンゼンセイテイリトハナニカ

著：竹内　薫

正しくても常に証明できるとは限らない。「証明」を深く考察した「不完全性定理」は真な命題は必ず証明できるはずだと考えていた数学界に、大きな衝撃を与えました。しかし「証明が不可能であることを証明する」ことは数学者にとっても難題です。この難題を、二人の天才はどのように解決したのでしょうか。（ブルーバックス・2013年4月刊）

「証明が不可能である」を、どのように証明したのか？

「智の限界」「科学の終焉」などと言われることがある「不完全性定理」。
　しかし、それは智の終焉などではなく、「正しくても常に証明できるとは限らない」ということを、卓抜したアイディアでゲーデルが証明した定理です。
　同じことを、イギリスの数学者チューリングは、彼が築いたコンピュータの数学的基礎「チューリング機械」を用いて示しました。
　ゲーデルとチューリングの証明の詳細は抽象的でたいへん高度ですが、定理の内容は、それほど神秘的なことを言っているわけではありません。
　そこで本書では、「不完全性定理」の内容を、正確に理解するとともに、その証明のための驚くべき二人のアイディアを、できるだけやさしく紹介します。

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関連シリーズ

プロローグ「心優しきプログラマーさんの悩み」
第０章　心の準備
第１章　無限に挑んだドン・キホーテ、ゲオルク・カントール
第２章　ラッセル卿の希望を打ち砕いたクルト・ゲーデル
第３章　チューリングの辞書に「停まる」という文字はない
第４章　Ω数、様相論理、エトセトラ
エピローグ　「とあるサイエンス作家のゲーデル遍歴」
付録１　ベリーのパラドックスと不完全性定理
付録２　「竹内流ゲーデル教室」（ええと、ようするに読書案内です）